โดยทั่วไปสล็อตแตกง่ายแล้วคณิตศาสตร์และศิลปะถูกมองว่าเป็นสาขาวิชาที่แตกต่างกันมาก วิชาหนึ่งเน้นการคิดเชิงนามธรรม อีกวิชาหนึ่งเกี่ยวกับความรู้สึก แต่บางครั้งความคล้ายคลึงกันระหว่างคนทั้งสองก็แปลกประหลาด ตั้งแต่การปูกระเบื้องแบบอิสลามไปจนถึงรูปแบบที่วุ่นวายของแจ็คสัน พอลล็อค เราสามารถเห็นความคล้ายคลึงกันอย่างน่าทึ่งระหว่างศิลปะกับการวิจัยทางคณิตศาสตร์ที่ตามมา
ลวดลายในอาลัมบรา
พิจารณาเครื่องประดับอิสลาม เช่นที่พบใน อา ลัมบราในกรานาดา ประเทศสเปน
ในศตวรรษที่ 14 และ 15 พระราชวัง Alhambra เป็นพระราชวังและฮาเร็มของกษัตริย์เบอร์เบอร์ สำหรับผู้มาเยี่ยมชมจำนวนมาก สถานที่นี้ตั้งอยู่ใกล้กับสรวงสวรรค์เหมือนกับทุกสิ่งบนโลก: ลานบ้านแบบเปิดที่มีน้ำพุ ล้อมรอบด้วยซุ้มประตูที่ให้ที่หลบภัยและร่มเงา เพดานถูกหล่อขึ้นด้วยลวดลายเรขาคณิตที่วิจิตรบรรจงซึ่งคล้ายกับหินย้อย ความรุ่งโรจน์เป็นมงกุฎเป็นเครื่องประดับในกระเบื้องสีสันสดใสบนผนังโดยรอบ ซึ่งทำให้ตาพร่าในวิธีที่ถูกสะกดจิตซึ่งมีความสุขอย่างประหลาด ในรูปแบบที่คล้ายกับดนตรี รูปแบบต่างๆ ยกระดับผู้ดูให้อยู่ในสภาพที่เกือบจะหมดสภาพ ซึ่งเป็นความปิติจากสวรรค์
เป็นชัยชนะของศิลปะ และการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ เครื่องประดับนี้สำรวจสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าการปูกระเบื้องซึ่งพยายามเติมช่องว่างให้สมบูรณ์ด้วยรูปแบบทางเรขาคณิตปกติ คณิตศาสตร์แสดงให้เห็นว่าพื้นผิวเรียบสามารถปกคลุมเป็นประจำด้วยรูปทรงสมมาตรที่มีด้านสาม สี่ และหกด้าน แต่ไม่สามารถมีรูปร่างที่มีห้าด้านได้
นอกจากนี้ยังสามารถรวมรูปทรงต่างๆ โดยใช้กระเบื้องสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส และหกเหลี่ยมเพื่อเติมช่องว่างให้สมบูรณ์ พระราชวังอาลัมบรามีการผสมผสานกันอย่างประณีตในลักษณะนี้ ซึ่งมองเห็นได้ยากว่ามีเสถียรภาพมากกว่าการเคลื่อนไหว พวกมันดูเหมือนจะหมุนไปต่อหน้าต่อตาเรา พวกมันกระตุ้นสมองของเราให้ทำงาน และเมื่อเราดู เราจะจัดเรียงและจัดเรียงรูปแบบใหม่ในรูปแบบต่างๆ
ประสบการณ์ทางอารมณ์? มากขนาดนั้น. แต่สิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับการปูกระเบื้องของอิสลามเช่นนี้ก็คือ ผลงานของศิลปินและช่างฝีมือนิรนามยังแสดงให้เห็นถึงความเชี่ยวชาญด้านตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่เกือบจะสมบูรณ์แบบอีกด้วย นัก คณิตศาสตร์ได้จำแนกสมมาตร 17 ประเภท ได้แก่ สมมาตรทวิภาคี สมมาตรในการหมุน และอื่นๆ อย่างน้อย 16 ปรากฏในกระเบื้องของ Alhambra ราวกับว่าเป็นแผนผังตำราเรียน
รูปแบบไม่เพียงแต่สวยงามเท่านั้น แต่ยังมีความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์อีกด้วย พวกเขาสำรวจลักษณะพื้นฐานของสมมาตรในลักษณะที่สมบูรณ์อย่างน่าประหลาดใจ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ไม่ได้คิดวิเคราะห์เกี่ยวกับหลักการสมมาตรจนกระทั่งหลายศตวรรษหลังจากที่ปูกระเบื้องของ Alhambra เข้าที่
กระเบื้องควอซิคริสตัลไลน์
การประดับประดาของ Alhambra นั้นน่าทึ่งมาก อาจมีผลงานชิ้นเอกในเปอร์เซียเหนือกว่า ที่นั่น ในปี 1453 ช่างฝีมือนิรนามที่ศาลเจ้า Darbi-I Imam ในเมือง Isfahan ได้ค้นพบรูปแบบผลึกค วอซิกคริสตัลไลน์ รูปแบบเหล่านี้มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนและลึกลับซึ่งนักคณิตศาสตร์ไม่ได้วิเคราะห์จนกระทั่งค้นพบการปูกระเบื้อง Penroseในปี 1970
รูปแบบดังกล่าวจะเติมช่องว่างให้สมบูรณ์ด้วยรูปทรงปกติ แต่ในรูปแบบที่ไม่มีวันซ้ำรอยเดิม – แท้จริงแล้ว จะไม่เกิดซ้ำอย่างไม่รู้จบ – แม้ว่าค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าส่วนสีทองจะเกิดขึ้นซ้ำแล้วซ้ำเล่า
Daniel Schectman ได้รับรางวัลโนเบลปี 2001 จากการค้นพบ quasicrystal ซึ่งเป็นไปตามกฎขององค์กรนี้ ความก้าวหน้าครั้งนี้ทำให้นักวิทยาศาสตร์ต้องทบทวนแนวความคิดเกี่ยวกับธรรมชาติของสสาร
ในปี 2548 Peter James Luนักฟิสิกส์ของ Harvard ได้แสดงให้เห็นว่ามันเป็นไปได้ที่จะสร้างรูปแบบ quasicrystalline ดังกล่าวค่อนข้างง่าย โดยใช้ กระเบื้องgirih กระเบื้อง Girih รวมรูปทรงเรขาคณิตที่บริสุทธิ์หลายรูปเป็นห้ารูปแบบ: รูปหลายเหลี่ยมปกติ รูปหกเหลี่ยมไม่ปกติ หูกระต่าย รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และรูปห้าเหลี่ยมปกติ
ไม่ว่าวิธีการใดก็ตาม เป็นที่ชัดเจนว่ารูปแบบ quasicrystalline ที่ Darbi-I Imam นั้นถูกสร้างขึ้นโดยช่างฝีมือโดยไม่มีการฝึกอบรมขั้นสูงในวิชาคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ต้องใช้เวลาหลายศตวรรษในการวิเคราะห์และระบุสิ่งที่พวกเขากำลังทำ กล่าวอีกนัยหนึ่งสัญชาตญาณมาก่อนความเข้าใจอย่างสมบูรณ์
คณิตศาสตร์เปอร์สเปคทีฟและไม่ใช่แบบยุคลิเดียน
มุมมองทางเรขาคณิตทำให้สามารถวาดภาพโลกที่มองเห็นได้ด้วยความเป็นจริงและความถูกต้องแบบใหม่ ซึ่งสร้างการปฏิวัติทางศิลปะในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาของอิตาลี อาจมีคนโต้แย้งว่ามุมมองยังนำไปสู่การทบทวนกฎพื้นฐานของคณิตศาสตร์ครั้งสำคัญอีกด้วย
ตามคณิตศาสตร์ยุคลิเดียน เส้นขนานสองเส้นจะยังคงขนานกันจนเป็นอนันต์และไม่มีวันบรรจบกัน อย่างไรก็ตาม ในมุมมองของยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา ในที่สุดเส้นคู่ขนานมาบรรจบกันในระยะทางไกลที่เรียกว่า “จุดหายนะ” กล่าวอีกนัยหนึ่ง มุมมองยุคฟื้นฟูศิลปวิทยานำเสนอเรขาคณิตซึ่งเป็นไปตามกฎทางคณิตศาสตร์ทั่วไป แต่ไม่ใช่แบบยุคลิเดียน
เมื่อนักคณิตศาสตร์คิดค้นคณิตศาสตร์ที่ไม่ใช่แบบยุคลิดขึ้นเป็นครั้งแรกในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 พวกเขาจินตนาการถึงโลกที่เส้นคู่ขนานมาบรรจบกันที่อนันต์ เรขาคณิตที่พวกเขาสำรวจมีความคล้ายคลึงกับมุมมองยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาในหลาย ๆ ด้าน
คณิตศาสตร์ที่ไม่ใช่ยุคลิดได้ย้ายไปสำรวจอวกาศซึ่งมี 12 หรือ 13 มิติ ซึ่งอยู่นอกโลกของมุมมองของยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา แต่มันก็คุ้มค่าที่จะถามว่าศิลปะยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาอาจทำให้การก้าวกระโดดครั้งแรกนั้นง่ายขึ้นหรือไม่
ภาพวาดที่วุ่นวายของพอลลอค
กรณีศิลปะสมัยใหม่ที่น่าสนใจซึ่งทำลายขอบเขตดั้งเดิม – และมีความคล้ายคลึงกันกับพัฒนาการทางคณิตศาสตร์ล่าสุด – คือภาพวาดของ Jackson Pollock
สำหรับผู้ที่พบเห็นครั้งแรก ภาพวาดของพอลล็อคดูวุ่นวายและไร้สติ อย่างไรก็ตาม เมื่อเวลาผ่านไป เราพบว่าพวกเขามีองค์ประกอบของระเบียบ แม้ว่าจะไม่ใช่แบบเดิมก็ตาม รูปร่างของมันคาดเดาได้และคาดเดาไม่ได้พร้อมกัน ในรูปแบบที่คล้ายกับรูปแบบการหยดน้ำจากก๊อกน้ำ ไม่มีทางที่จะทำนายผลที่แน่นอนของหยดต่อไปได้ แต่ถ้าเราสร้างแผนภูมิรูปแบบของหยดน้ำ เราจะพบว่ามันอยู่ในโซนที่มีรูปร่างและขอบเขตที่ชัดเจน
ความคาดเดาไม่ได้ดังกล่าวครั้งหนึ่งเคยเกินขอบเขตสำหรับนักคณิตศาสตร์ แต่ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา มันได้กลายเป็นหนึ่งในประเด็นที่ร้อนแรงที่สุดในการสำรวจทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีความโกลาหลสำรวจรูปแบบที่ไม่สามารถคาดเดาได้ แต่อยู่ในขอบเขตของความเป็นไปได้ที่กำหนดได้ ในขณะที่การวิเคราะห์เศษส่วนศึกษารูปร่างที่คล้ายคลึงกันแต่ไม่เหมือนกัน
พอลลอคเองก็ไม่มีความสนใจเป็นพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ และมีพรสวรรค์ที่ไม่ค่อยมีใครรู้จักในเวทีนั้น ความหลงใหลในแบบฟอร์มเหล่านี้เป็นสิ่งที่เข้าใจได้ง่ายและเป็นส่วนตัว
น่าแปลกที่นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถอธิบายได้อย่างถูกต้องว่าพอลลอคทำอะไรในภาพวาดของเขา ตัวอย่างเช่น มีความพยายามที่จะใช้การวิเคราะห์เศษส่วนเพื่อสร้าง “ลายเซ็น” ที่เป็นตัวเลขสำหรับสไตล์ของเขา แต่จนถึงขณะนี้วิธีการนี้ยังไม่ได้ผล เราไม่สามารถแยกแยะงานลายเซ็นของพอลลอคได้จากการเลียนแบบที่ไม่ถูกต้อง แม้แต่ความคิดที่ว่าพอลลอคใช้ความคิดเศษส่วนก็อาจไม่ถูกต้อง
อย่างไรก็ตาม รูปแบบที่วุ่นวายและเป็นระเบียบพร้อมๆ กันของพอลลอคได้ชี้แนะทิศทางที่ได้ผลสำหรับคณิตศาสตร์ ในบางจุด อาจเป็นไปได้ที่จะอธิบายสิ่งที่พอลลอคทำกับเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ และศิลปินจะต้องเดินหน้าต่อไปและทำเครื่องหมายเขตแดนใหม่เพื่อสำรวจสล็อตแตกง่าย
